গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য বা পিথাগোরাস থিওরেম বা পিথাগোরিয়ান থিওরেম হলো ইউক্লিডীয় জ্যামিতির অন্তর্ভুক্ত সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু সম্পর্কিত একটি উপপাদ্য। এই উপপাদ্যটি গ্রীক গণিতবিদ পিথাগোরাসের এর নামানুসারে। এই উপপাদ্যটি হলো:

কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

উপপাদ্যটিকে সাধারণত নিম্নরূপে সংক্ষিপ্ত করা হয়:

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গটি অন্য দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য:কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

যদি আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের c কে অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং a এবং b কে অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ধরি, তাহলে উপপাদ্যটিকে সমীকরণ হিসাবে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যেতে পারে:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

বা, c-এর মান নির্ণয় করে:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,$

অর্থৎ এই সূত্রের সাহায্যে কোন ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।

নিম্নলিখিত সমীকরণগুলিও লেখা যেতে পারে:

$c^{2}-a^{2}=b^{2}\,$

অথবা

$c^{2}-b^{2}=a^{2}.\,$

এই সমীকরণটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যে একটি সরল সম্পর্ক প্রদান করে যাতে যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য বের করা যায়।

ইতিহাস

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ইতিহাসকে চার ভাগে ভাগ করা যায়: পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী সম্পর্কে জ্ঞান, সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে সম্পর্কের জ্ঞান, সন্নিহিত কোণের মধ্যে সম্পর্কের জ্ঞান এবং উপপাদ্যের প্রমাণ।

২৫০০ খ্রিস্টপূর্বের মিশর এবং উত্তর ইউরোপের মেগালিথিক স্মৃতিস্তম্ভগুলির স্থাপত্যে পূর্ণসংখ্যা বাহুসহ সমকোণী ত্রিভুজের উপস্থিতি লক্ষ্য করা যায়। বার্টেল লিন্ডার্ট ভ্যান ডের ওয়ার্ডেন অনুমান করেন যে এই পিথাগোরিয়ান ত্রয়ীগুলি বীজগণিত থেকে আবিষ্কৃত হয়েছিল।

২০০০ এবং ১৭৮৬ খ্রিস্টপূর্বের মধ্যে লিখিত মিশরীয় মধ্য রাজ্য, প্যাপিরাস বার্লিন ৬৬১৯ নামে একটি সমস্যাকে অন্তর্ভুক্ত করে। যার সমাধান হলো একটি পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী।

ব্যাবলনিয়ান রাজবংশের হাম্মুরাবির শাসন ক্ষেত্রে ১৭৯০ এবং ১৭৫০ খ্রিস্টপূর্বের মধ্যে লেখা সবচেয়ে বিখ্যাত গাণিতিক কাদামাটির ট্যাবলেট প্লিমটন ৩২২ পাওয়া যায়। পিথাগোরিয়ান ত্রয়ীর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত অনেক লেখা তাতে রয়েছে।

বৌধায়ন (খ্রীষ্টপূর্ব ৮০০ শতক) নামে একজন ভারতীয় গণিতবিদ বৌধায়ন সূত্র নামে একটি গ্রন্থের লেখক ছিলেন। তিনি বিখ্যাত কিছু গাণিতিক কাজ করেন। তাতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ রয়েছে। ভারতে বীজগণিত উপায়ে আবিষ্কৃত পিথাগোরিয়ান ত্রয়ীর একটি তালিকা, পিথাগোরাস উপপাদ্যের একটি বিবৃতি এবং পিথাগোরাসের একটি জ্যামিতিক প্রমাণ রয়েছে। এটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের উপপাদ্য।

আপস্তম্ব নামে একজন বৈদিক শুল্বকার তার শুল্ব সূত্রের (আনুমানিক ৬০০ খ্রীষ্টপূর্বে) একটি এলাকা গণনায় সাধারণ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করেছেন। তার একটি সংখ্যাগত প্রমাণ রয়েছে। ভ্যান ডার ওয়ার্ডেন বিশ্বাস করেন যে "এটি অবশ্যই পূর্বের ঐতিহ্যের উপর ভিত্তি করে ছিল"। আলবার্ট বার্ক এর মতে, এটি উপপাদ্যের মূল প্রমাণ; তিনি আরও তত্ত্ব দেন যে পিথাগোরাস ভারতের আরাককোনামে গিয়েছিলেন এবং সেখান থেকে তিনি এটি অনুলিপি করেন।

পিথাগোরাসের সময়কাল সাধারণত ৫৬৯-৪৭৫ খ্রীষ্টপূর্ব হিসাবে ধরা হয়। ইউক্লিডের উপর প্রোক্লোসের ভাষ্য অনুসারে, পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী তৈরি করতে তিনি বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন। প্রোক্লোস অবশ্য ৪১০ থেকে ৪৮৫ খ্রিস্টাব্দের মধ্যে এটি লিখেছিলেন। স্যার থমাস এল. হিথের মতে, পিথাগোরাসের জীবিত থাকার পাঁচ শতাব্দীর পরেও পিথাগোরাসের উপপাদ্যটির কোনো উল্লেখ নেই। তবে যখন থেকে প্লুটার্ক এবং সিসেরোর মতো লেখকরা উপপাদ্যটিকে পিথাগোরাসের বলে দাবী করেছিলেন তখন থেকে উপপাদ্যটি ব্যাপকভাবে পরিচিতি পায়।

প্রায় ৪০০ খ্রিস্টপূর্বে প্রোক্লোসের মতে, বীজগণিত এবং জ্যামিতিকে একত্রিত করে প্লেটো পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী খুঁজে বের করার একটি পদ্ধতি দিয়েছিলেন। আনুমানিক ৩০০ খ্রিস্টপূর্বে, “ইউক্লিড এলিমেন্টস”-এ উপপাদ্যটির প্রাচীনতম স্বতঃসিদ্ধ প্রমাণ উপস্থাপন করা হয়েছিলো।

৫০০ খ্রিস্টপূর্ব থেকে ১০০ খ্রিস্টাব্দের মধ্যবর্তী সময়ে লেখা, চীনা নথিতে চৌ পেই সুয়ান চিং (周髀算经), (গনোমনের গাণিতিক ক্লাসিক এবং স্বর্গের বৃত্তাকার পথ) পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি বিবৃতি পাওয়া যায় - চীনে একে "গউগু থিওরেম" বলা হয় (勾股定理) — (৩, ৪, ৫) ত্রিভুজের জন্য। মিং রাজবংশের একটি নথিতে একটি চাক্ষুষ প্রমাণ লিপিবদ্ধ করা হয়েছে। যদিও এটি কোন সময়ে দেওয়া হয়েছিল তা স্পষ্ট নয়। হান রাজবংশের সময়, ২০২ খ্রিস্টপূর্ব থেকে ২২০ খ্রিস্টাব্দ পর্যন্ত, পিথাগোরিয়ান ত্রয়ীগুলি গাণিতিক শিল্পের নয়টি অধ্যায়ে সমকোণী ত্রিভুজের উপস্থিতি সহ উল্লেখ দেখা যায়।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রথম নথিভুক্ত ব্যবহার চীনে, যা "গউগু উপপাদ্য" (勾股定理) নামে পরিচিত এবং ভারতে ভাস্কর উপপাদ্য নামে পরিচিত ছিল।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য একবার নাকি বহুবার আবিষ্কৃত হয়েছিল তা নিয়ে অনেক বিতর্ক রয়েছে। বোয়ার (১৯৯১) মনে করেন যে শুল্ব সূত্রে পাওয়া “এলিমেন্টস”গুলি মেসোপটেমিয়া থেকে উদ্ভূত হতে পারে।

প্রমাণ

সদৃশ ত্রিভুজ ব্যবহার করে প্রমাণ

সদৃশ ত্রিভুজ ব্যবহার করে প্রমাণ

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বেশিরভাগ প্রমাণের মতো, এই প্রমাণটি দুটি সদৃশ ত্রিভুজের বাহুর অনুপাতের উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত।

ধরা যাক ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার সমকোণটি হলো C, চিত্রে প্রদর্শিত হয়েছে। C বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব h যা AB বাহু কে H বিন্দুতে ছেদ করে। এর ফলে ACH একটি নতুন ত্রিভুজ সৃষ্টি হয়। আগের ABC ত্রিভুজটি এর সদৃশ হবে, কেননা এদের উভয়ের একটি কোণ সমকোণ ও একটি কোণ A সাধারণ। ফলে তৃতীয় কোণটিও সমান হবে এবং একই কারণে CBH ত্রিভুজটিও ABC এর সদৃশ। এই সদৃশতার দরুন দুটি অনুপাত...

হবে

$BC=a,AC=b,{\text{ and }}AB=c,\!$

তাই

${\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\,$

একে নীচের হিসাবেও লেখা যেতে পারে

$a^{2}=c\times HB{\mbox{ and }}b^{2}=c\times AH.\,$

দুটি সমতাকে যোগ করলে আমরা পাই,

$a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!$

অর্থাৎ পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি হলো :

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!$

ইউক্লিডের প্রমাণ

ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এ প্রমাণ

ইউক্লিড তার রচিত “ইউক্লিড এলিমেন্টস” বইটির ৪৭নং উপপাদ্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের কথা উল্লেখ করেছেন। পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত ভাবে একটি যুক্তি দ্বারা প্রমাণিত করা যায়। ধরা যাক A, B, C একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু, যার একটি সমকোণ A। অতিভুজের উপর বর্গক্ষেত্রে অতিভুজেরর বিপরীত দিকে A থেকে একটি লম্ব টানা হলো। এই রেখাটি অতিভুজের উপর বর্গক্ষেত্রটিকে দুটি আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত করে, প্রতিটির ভূমির দুটি বর্গক্ষেত্রের একটির সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে।

নতুন রেখা সহ বর্ণনা

আনুষ্ঠানিক প্রমাণের জন্য, আমাদের চারটি প্রাথমিক শিরোনামা প্রয়োজন:

1. যদি দুটি ত্রিভুজের একটির দুটি বাহু অন্যটির দুটি বাহুর প্রত্যেকটির সমান এবং সেই বাহুর দ্বারা অন্তর্ভুক্ত কোণগুলি সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়। (পার্শ্ব - কোণ - পার্শ্ব উপপাদ্য)
2. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একই ভূমিতে থাকা যেকোনো সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক এবং তাদের উচ্চতা এক।
3. যে কোনো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার দুই বাহুর গুণফলের সমান।
4. যেকোনো আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দুটি সন্নিহিত বাহুর গুণফলের সমান।

এই প্রমাণের পিছনের স্বজ্ঞাত ধারণা, যা অনুসরণ করলে বোঝা সহজ হয় তা হলো, উপরের বর্গক্ষেত্রগুলিকে একই আকারের সামন্তরিকে রূপান্তরিত করা হয়। তারপরে নীচের বর্গক্ষেত্রের বাম এবং ডান আয়তক্ষেত্রেকে আবার ধ্রুবক ক্ষেত্রফলে পরিণত করা হয়।

প্রমাণ নিম্নরূপ:

1. মনে করা যাক ACB একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ হলো CAB।
2. BC, AB, এবং CA ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর উপর যথাক্রমে CBDE, BAGF, এবং ACIH, বর্গ আঁকা হলো।
3. A থেকে, BD এবং CE এর সমান্তরাল একটি রেখা টানা হলো। এটি লম্বভাবে BC এবং DE কে K এবং L এ ছেদ করে।
4. BCF এবং BDA ত্রিভুজ গঠন করার জন্য CF এবং AD এর সাথে যোগ করা হলো।
5. কোণ CAB এবং BAG উভয়ই সমকোণ; তাই C, A এবং G সমরেখা বা সমরৈখিক। একইভাবে B, A, এবং H এর জন্যও।
6. কোণ CBD এবং FBA উভয়ই সমকোণ; সুতরাং কোণ ABD কোণ FBC এর সমান, যেহেতু উভয়ই একটি সমকোণ এবং ABC কোণের সমষ্টি।
7. যেহেতু AB এবং BD যথাক্রমে FB এবং BC এর সমান, তাই ত্রিভুজ ABD অবশ্যই ত্রিভুজ FBC এর সমান হবে।
8. যেহেতু A K এবং L এর সাথে সমরেখা বা সমরৈখিক তাই আয়তক্ষেত্র BDLK ক্ষেত্রফল অবশ্যই ABD থেকে দ্বিগুণ হতে হবে।
9. যেহেতু A এবং G এর সাথে C সমরেখার, তাই BAGF বর্গক্ষেত্র অবশ্যই ত্রিভুজ FBC ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হতে হবে।
10. অতএব আয়তক্ষেত্র BDLK অবশ্যই বর্গক্ষেত্র BAGF = AB² সমান ক্ষেত্রফল হতে হবে।
11. একইভাবে দেখানো যেতে পারে যে আয়তক্ষেত্র CKLE এর বর্গক্ষেত্র ACIH = AC² সমান ক্ষেত্রফল থাকতে হবে।
12. এই দুটি ফলাফল যোগ করলে, AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
13. যেহেতু BD = KL, BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. অতএব AB² + AC² = BC², যেহেতু CBDE একটি বর্গক্ষেত্র।

এই প্রমাণটি ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এ রয়েছে।

গারফিল্ডের প্রমাণ

জেমস এ. গারফিল্ড (পরে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের রাষ্ট্রপতি নির্বাচিত হন) একটি বই লেখেন। তাতে ত্রিভুজের দুটি উদাহরণ সম্বলিত একটি ট্র্যাপিজয়েড ব্যবহার করে বীজগাণিতিক প্রমাণ [১] দেন। এতে একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রের মধ্যে চারটি ত্রিভুজ ব্যবহার করা হয়েছে।

ক্ষেত্রফল বিয়োগ ব্যবহার করে প্রমাণ।

সাদৃশ্য প্রমাণ

উপরের ইউক্লিডের প্রমাণের মতো একই চিত্র থেকে, আমরা তিনটি অনুরূপ চিত্র দেখতে পাচ্ছি। প্রতিটি চিত্রে "উপরে একটি ত্রিভুজ সহ একটি বর্গক্ষেত্র" রয়েছে। যেহেতু বৃহৎ ত্রিভুজ দুটি ছোট ত্রিভুজ দিয়ে তৈরি তাই এর ক্ষেত্রফল হলো দুটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। সাদৃশ্য দ্বারা, তিনটি বর্গক্ষেত্র তিনটি ত্রিভুজ হিসাবে একে অপরের সাথে একই অনুপাতে থাকে এবং একইভাবে বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দুটি ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি।

পুনর্বিন্যাস দ্বারা প্রমাণ

চিত্র এবং অ্যানিমেশনের সাহায্যে পুনর্বিন্যাস দ্বারা প্রমাণটি বোঝানো হয়েছে। এই চিত্রে, প্রতিটি বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো (a + b)²। উভয় ক্ষেত্রে, চারটি অভিন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বাদ দেওয়া হয়েছে। অবশিষ্ট ক্ষেত্রফল, a² + b² এবং c², সমান। অর্থাৎ যা প্রদর্শন করা দরকার ছিল, তা প্রদর্শিত হলো।

পুনর্বিন্যাস দ্বারা অন্য প্রমাণ অ্যানিমেশনের সাহায্যে বোঝানো হয়েছে

পুনর্বিন্যাস দ্বারা প্রমাণ।

এই প্রমাণটি সহজ হলেও এটি কিন্তু প্রাথমিক নয়, এই অর্থে যে এটি শুধুমাত্র ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সবচেয়ে মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ এবং উপপাদ্যগুলির উপর নির্ভর করে না। বিশেষ করে, ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের জন্য একটি সূত্র দেওয়া যদিও বেশ সহজ। তবে এটি প্রমাণ করা ততটা সহজ নয় যে একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার অংশগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। প্রকৃতপক্ষে, প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং বানাচ-তারস্কি প্যারাডক্স প্রমাণ করার চেয়ে কঠিন। প্রকৃতপক্ষে, এই অসুবিধা ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত সমস্ত সাধারণ ইউক্লিডীয় প্রমাণকে প্রভাবিত করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার ক্ষেত্রে অনুমান করা হয় যে এটি একই উচ্চতা এবং ভূমি বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক। এই কারণে, জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ ভূমিকা সাধারণত ত্রিভুজের সাদৃশ্যের উপর ভিত্তি করে আরেকটি প্রমাণের উপর নির্ভর করে (উপরে দেখুন)।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের তৃতীয় গ্রাফিক চিত্রটি (ডান দিকে হলুদ এবং নীল রঙের) অতিভুজের বর্গক্ষেত্রের পাশের বর্গক্ষেত্রের অংশগুলিকে উপযুক্ত জায়গা দেয়। একটি সম্পর্কিত প্রমাণে দেখা যায় যে পুনঃস্থাপিত অংশগুলি মূল অংশগুলির সাথে অভিন্ন এবং যেহেতু সমানের যোগফল সমান, তাই সংশ্লিষ্ট ক্ষেত্রফলগুলি সমান। একটি বর্গক্ষেত্র দিয়ে বিচার করতে হবে সেজন্য দেখাতে হবে যে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য c এর সমান। মনে রাখতে হবে যে এই প্রমাণটি কাজ করার জন্য, একজনকে অবশ্যই একটি উপায় বের করতে হবে যাতে সংশ্লিষ্ট দিকটি ছোট থেকে ছোট হয়ে যায়।

বীজগাণিতিক প্রমাণ

চারটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং একটি ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রকে নিয়ে তৈরি একটি বৃহৎ বর্গক্ষেত্র বর্গ

বীজগাণিতিক উপায়ে নিম্নভাবে সূত্রটির প্রমাণ করা যায়। পাশের চিত্রের বৃহৎ বর্গক্ষেত্রটির চার কোণে চারটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে যাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল

${\frac {1}{2}}AB.$

ত্রিভুজগুলোর A-পার্শস্থ ও B পার্শ্বস্থ কোণগুলো পরষ্পরের পরিপূরক, সুতরাং মধ্যবর্তী নীল এলাকার প্রতিটি কোণ একটি সমকোণ। অর্থাৎ মাঝের নীল এলাকাটি একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য C। বর্গটির ক্ষেত্রফল C²। ফলে সম্পূর্ণ এলাকাটির ক্ষেত্রফল হলো:

$4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.$

বৃহৎ বর্গক্ষেত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য A+B অর্থাৎ এর ক্ষেত্রফল (A+B)², একে বিস্তৃত করলে আমরা পাই:

A²+ 2AB+ B².

$\Rightarrow$ $A^{2}+2AB+B^{2}=4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.\,\!$

$\Rightarrow$ $A^{2}+2AB+B^{2}=2AB+C^{2}\,\!$

$\Rightarrow$ $A^{2}+B^{2}=C^{2}\,\!$ (2AB বিয়োগ করে)

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা প্রমাণ

নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে একটি বাহুর পরিবর্তন করলে কীভাবে সেটি অতিভুজের পরিবর্তন ঘটায়। সামান্য ক্যালকুলাস ব্যবহার করে কেউ পিথাগোরাসের উপপাদ্যে পৌঁছাতে পারে।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করে প্রমাণ।

বাহু a পরিবর্তনের ফলে,

${\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}$

অনুরূপ ত্রিভুজ দ্বারা এবং ডিফারেনশিয়াল পরিবর্তনের ফলে। সুতরাং

$c\,dc=a\,da$

চল অর্থাৎ পরিবর্তনশীল রাশি আলাদা করলে পাওয়া যায়।

b-এ দ্বিতীয় পদ যোগ করার ফলে।.

ইন্টিগ্রেটিং করে পাওয়া যায়

$c^{2}=a^{2}+\mathrm {constant} .\ \,\!$

যখন a = 0 তখন c = b, সুতরাং "ধ্রুবক" হলো b². সুতরাং

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,$

দেখা যাচ্ছে, বর্গক্ষেত্রগুলি পরিবর্তনের ফলে এবং বাহুর মধ্যে বিশেষ অনুপাতের কারণে হয়। যোগফলটি বাহুর পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে না। এটি জ্যামিতিক প্রমাণ থেকে স্পষ্ট নয়। প্রদত্ত অনুপাত থেকে এটি দেখানো যেতে পারে যে বাহুর পরিবর্তনগুলি বাহুর বিপরীত সমানুপাতিক। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি দেখায় যে উপপাদ্যটি আপেক্ষিক পরিবর্তনের কারণে এবং এর উৎপত্তি প্রায় একটি লাইন ইন্টিগ্রাল গণনার সমতুল্য।

এই da এবং dc হলো যথাক্রমে a এবং c র অসীম ছোট পরিবর্তন। কিন্তু আমরা এর পরিবর্তে বাস্তব সংখ্যা Δa এবং Δc ব্যবহার করতে পারি। এই আকার শূন্যের কাছে আসার অনুপাতের সীমা হলো da/dc, ডেরিভেটিভ, এবং এছাড়াও ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত c/a, এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ফলাফল।

বিপরীত

উপপাদ্যের বিপরীতও সত্য:

যে কোনো তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা a, b, এবং c যেখানে a ² + b² = c², a, b এবং c, ত্রিভুজের তিনটি বাহু আছে এবং এই ধরনের প্রতিটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b মধ্যে একটি সমকোণ রয়েছে।

এই বিপরীতটি ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এও দেখা যায়। এটি কোসাইনের নিয়ম ব্যবহার করে বা নিম্নলিখিত প্রমাণ দ্বারা প্রমাণিত করা যেতে পারে:

ধরা যাক ABC একটি ত্রিভুজ যার বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b এবং c যেখানে, a² + b² = c². আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে a এবং b বাহুর মধ্যবর্তী কোণটি একটি সমকোণ। a এবং b বাহুর মধ্যে একটি সমকোণ দিয়ে আরেকটি ত্রিভুজ তৈরি করা হলো। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, এটি অনুসরণ করে যে এই ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য c আছে। যেহেতু উভয় ত্রিভুজের একই বাহুর দৈর্ঘ্য a, b এবং c, তাই তারা সর্বসম, এবং তাই তাদের অবশ্যই একই কোণ থাকতে হবে। অতএব, আমাদের মূল ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য a এবং b বাহুর মধ্যবর্তী কোণটি একটি সমকোণ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত সিদ্ধান্তের একটি ফলাফল হলো, একটি ত্রিভুজ সমকোণী, সূক্ষ্মকোণী বা স্থূলকোণী কিনা তা নির্ধারণ করার একটি সহজ উপায়, নিম্নরূপ। যেখানে c তিনটি বাহুর মধ্যে দীর্ঘতম হিসাবে ধরা হয়েছে:

• যদি a² + b² = c², তাহলে ত্রিভুজটি সমকোণী।
• যদি a² + b² > c², তাহলে ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
• যদি a² + b² < c², তাহলে ত্রিভুজটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

উপপাদ্যের ফলাফল ও ব্যবহার

পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী

একটি পিথাগোরিয়ান ত্রয়ীর ৩টি ধনাত্মক সংখ্যা থাকে a, b, এবং c, যেমন $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. অন্যভাবে বলা যায়, একটি পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যগুলির প্রতিনিধি। যেখানে তিনটি বাহুরই দৈর্ঘ্যগুলি পূর্ণসংখ্যা। উত্তর ইউরোপের মেগালিথিক স্মৃতিস্তম্ভগুলি থেকে প্রমাণ পাওয়া যায় যে এই ধরনের ত্রয়ী লেখার আবিষ্কারের আগেই পরিচিত ছিল। (a, b, c) এভাবে সাধারণত পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী লেখা হয়। কিছু পরিচিত উদাহরণ হলো (3, 4, 5) এবং (5, 12, 13)।

আদিম পিথাগোরিয়ান ত্রয়ীর তালিকা (১০০ পর্যন্ত)

(৩, ৪, ৫), (৫, ১২, ১৩), (৭, ২৪, ২৫), (৮, ১৫, ১৭), (৯, ৪০, ৪১), (১১, ৬০, ৬১), (১২, ৩৫, ৩৭), (১৩, ৮৪, ৮৫), (১৬, ৬৩, ৬৫), (২০, ২১, ২৯), (২৮, ৪৫, ৫৩), (৩৩, ৫৬, ৬৫), (৩৬, ৭৭, ৮৫), (৩৯, ৮০, ৮৯), (৪৮, ৫৫, ৭৩), (৬৫, ৭২, ৯৭)

অমূলদ সংখ্যার অস্তিত্ব

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের একটি ফলাফল হলো অমূলদ সংখ্যা, যেমন ২ এর বর্গমূল, তৈরি করা যেতে পারে। একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার উভয় বাহু এক এককের সমান দৈর্ঘ্য তার অতিভুজের দৈর্ঘ্য হবে ২ এর বর্গমূল। পিথাগোরিয়ানরা প্রমাণ করেছেন যে ২ এর বর্গমূল অমূলদ, তবে এই প্রমাণের আগে তারা বিশ্বাস করতেন সব কিছুই মূলদ রাশি। কিংবদন্তি অনুসারে, হিপ্পাসাস, যিনি প্রথম দুই সংখ্যটির বর্গমূল যে অমূলদ তা প্রমাণ করেছিলেন। ফলস্বরূপ তাকে সমুদ্রে ডুবিয়ে দেওয়া হয়েছিলো।

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্ব

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের দূরত্ব সূত্রটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত। যদি (x₀, y₀) এবং (x₁, y₁) কোনো সমতলের বিন্দু হয় তবে তাদের মধ্যে দূরত্ব, যাকে ইউক্লিডীয় দূরত্ব বলা হয়, সেটিকে এই ভাবে লেখা যেতে পারে

${\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}.$

আরও সাধারণভাবে, ইউক্লিডিয়ানে n-স্থান, দুটি বিন্দুর মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব, $\scriptstyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ and $\scriptstyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেমন:

${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$