দাবি করা হচ্ছে, −div হলো d এর অনুবন্ধী:
∫
M
d
f
(
X
)
ω
=
−
∫
M
f
div
X
ω
{\displaystyle \int _{M}df(X)\;\omega =-\int _{M}f\,\operatorname {div} X\;\omega }
উপরোক্ত সমীকরণের প্রমাণ:
∫
M
(
f
d
i
v
(
X
)
+
X
(
f
)
)
ω
=
∫
M
(
f
L
X
+
L
X
(
f
)
)
ω
{\displaystyle \int _{M}(f\mathrm {div} (X)+X(f))\omega =\int _{M}(f{\mathcal {L}}_{X}+{\mathcal {L}}_{X}(f))\omega }
=
∫
M
L
X
f
ω
=
∫
M
d
ι
X
f
ω
=
∫
∂
M
ι
X
f
ω
{\displaystyle =\int _{M}{\mathcal {L}}_{X}f\omega =\int _{M}\mathrm {d} \iota _{X}f\omega =\int _{\partial M}\iota _{X}f\omega }
এখানে যদি f এর দৃঢ় সমর্থন থাকে তাহলে সর্বশেষ যোগজটি উঠে যায়, এবং অভীষ্ট মানটি পাওয়া যায়।
এটা প্রমাণ করা যায় যে, যেকোন স্কেলার ফাংশন 'f এর জন্য ল্যাপ্লাস-দ্যরাম অপারেটরটি ল্যাপ্লাস-বেলত্রামি অপারেটরের সংজ্ঞার সমতুল্য। প্রমাণটি এরকম:
Δ
f
=
d
δ
f
+
δ
d
f
=
δ
d
f
=
δ
∂
i
f
d
x
i
{\displaystyle \Delta f=\mathrm {d} \delta f+\delta \,\mathrm {d} f=\delta \,\mathrm {d} f=\delta \,\partial _{i}f\,\mathrm {d} x^{i}}
=
−
∗
d
∗
∂
i
f
d
x
i
=
−
∗
d
(
ε
i
J
|
g
|
∂
i
f
d
x
J
)
{\displaystyle =-*\mathrm {d} {*\partial _{i}f\,\mathrm {d} x^{i}}=-*\mathrm {d} (\varepsilon _{iJ}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f\,\mathrm {d} x^{J})}
=
−
∗
ε
i
J
∂
j
(
|
g
|
∂
i
f
)
d
x
j
d
x
J
=
−
∗
1
|
g
|
∂
i
(
|
g
|
∂
i
f
)
v
o
l
n
{\displaystyle =-*\varepsilon _{iJ}\,\partial _{j}({\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f)\,\mathrm {d} x^{j}\,\mathrm {d} x^{J}=-*{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\,\partial _{i}({\sqrt {|g|}}\,\partial ^{i}f)\mathrm {vol} _{n}}
=
−
1
|
g
|
∂
i
(
|
g
|
∂
i
f
)
,
{\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\,\partial _{i}({\sqrt {|g|}}\,\partial ^{i}f),}
এখানে ω হচ্ছে আয়তনিক অবস্থা এবং ε হলো লেভি-চিভিটা প্রতীকের সম্পূর্ণ প্রতিসম। এখানে খেয়াল রাখতে হবে যে, বাঁকা ছোট হাতের i হচ্ছে একটি একক সূচক, অন্যদিকে বড় হাতের রোমান J হলো অবশিষ্ট সকল (n-1) সূচক। লক্ষ্য করুন যে, ল্যাপ্লাস-দ্যরাম অপারেটরটি আসলে ল্যাপ্লাস-বেলত্রামি অপারেটরের ঋণাত্মক; এই ঋণাত্মক চিহ্নটি সাধারণ সহ-অন্তরজের সংজ্ঞা মেনে চলে। তবে সতর্ক থাকতে হবে যে, উভয় অপারেটরকেই Δ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
দেওয়া আছে, f ও g দুইটি স্কেলার ফাংশন এবং একটি বাস্তব সংখ্যা, a এর ল্যাপ্লাসীয় ধর্ম:
Δ
(
f
h
)
=
f
Δ
h
+
2
∂
i
f
∂
i
h
+
h
Δ
f
.
{\displaystyle \Delta (fh)=f\,\Delta h+2\partial _{i}f\,\partial ^{i}h+h\,\Delta f.}
Δ
(
f
h
)
=
δ
d
f
h
=
δ
(
f
d
h
+
h
d
f
)
=
∗
d
(
f
∗
d
h
)
+
∗
d
(
h
∗
d
f
)
{\displaystyle \Delta (fh)=\delta \,\mathrm {d} fh=\delta (f\,\mathrm {d} h+h\,\mathrm {d} f)=*\mathrm {d} (f{*\mathrm {d} h})+*\mathrm {d} (h{*\mathrm {d} f})\;}
=
∗
(
f
d
∗
d
h
+
d
f
∧
∗
d
h
+
d
h
∧
∗
d
f
+
h
d
∗
d
f
)
{\displaystyle =*(f\,\mathrm {d} *\mathrm {d} h+\mathrm {d} f\wedge *\mathrm {d} h+\mathrm {d} h\wedge *\mathrm {d} f+h\,\mathrm {d} *\mathrm {d} f)}
=
f
∗
d
∗
d
h
+
∗
(
d
f
∧
∗
d
h
+
d
h
∧
∗
d
f
)
+
h
∗
d
∗
d
f
{\displaystyle =f*\mathrm {d} *\mathrm {d} h+*(\mathrm {d} f\wedge *\mathrm {d} h+\mathrm {d} h\wedge *\mathrm {d} f)+h*\mathrm {d} *\mathrm {d} f}
=
f
Δ
h
{\displaystyle =f\,\Delta h}
+
∗
(
∂
i
f
d
x
i
∧
ε
j
J
|
g
|
∂
j
h
d
x
J
+
∂
i
h
d
x
i
∧
ε
j
J
|
g
|
∂
j
f
d
x
J
)
{\displaystyle +*(\partial _{i}f\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \varepsilon _{jJ}{\sqrt {|g|}}\partial ^{j}h\,\mathrm {d} x^{J}+\partial _{i}h\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \varepsilon _{jJ}{\sqrt {|g|}}\partial ^{j}f\,\mathrm {d} x^{J})}
+
h
Δ
f
{\displaystyle +h\,\Delta f}
=
f
Δ
h
+
(
∂
i
f
∂
i
h
+
∂
i
h
∂
i
f
)
∗
v
o
l
n
+
h
Δ
f
{\displaystyle =f\,\Delta h+(\partial _{i}f\,\partial ^{i}h+\partial _{i}h\,\partial ^{i}f){*\mathrm {vol} _{n}}+h\,\Delta f}
=
f
Δ
h
+
2
∂
i
f
∂
i
h
+
h
Δ
f
{\displaystyle =f\,\Delta h+2\partial _{i}f\,\partial ^{i}h+h\,\Delta f}
যেখানে f ও g হচ্ছে দুইটি স্কেলার ফাংশন।
