দেওয়া X1, X2, ... যেটি i.i.d র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর একটি অসীম ক্রম সেটার সসীম প্রত্যাশিত মান E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞ , আমরা দেখতে চাই নমুনা গড়ের অভিন্নতা
X
¯
n
=
1
n
(
X
1
+
⋯
+
X
n
)
.
{\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).}
উপপাদ্য:
X
¯
n
→
P
μ
for
n
→
∞
.
{\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}
প্রমাণ:
এই প্রমাণটি সসীম প্রকরণের অনুমান ব্যবহার করে
Var
(
X
i
)
=
σ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}
i
{\displaystyle i}
Var
(
X
¯
n
)
=
n
σ
2
n
2
=
σ
2
n
.
{\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}
ক্রমটির সাধারণ গড় μ হলো গড় নমুনার মধ্যক:
E
(
X
¯
n
)
=
μ
.
{\displaystyle E({\overline {X}}_{n})=\mu .}
X
¯
n
{\displaystyle {\overline {X}}_{n}}
P
(
|
X
¯
n
−
μ
|
≥
ε
)
≤
σ
2
n
ε
2
.
{\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}
এটি নিম্নলিখিতগুলো পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে:
P
(
|
X
¯
n
−
μ
|
<
ε
)
=
1
−
P
(
|
X
¯
n
−
μ
g
e
q
ε
)
≥
1
−
σ
2
n
ε
2
.
{\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right.\ geq\varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}
n অসীমের কাছে আসার সাথে সাথে অভিব্যক্তিটি ১ এর কাছে আসে। এবং সম্ভাব্যতার অভিসারের সংজ্ঞা অনুসারে (দেখুন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অভিন্নতা ), আমরা পেয়েছি
X
¯
n
→
P
μ
for
n
→
∞
.
{\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}
