গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/ব্রাউয়ারের স্থিরবিন্দু উপপাদ্য

ব্রাওয়ারের নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যটি একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য, যা সসীম-মাত্রিক স্থানে প্রযোজ্য এবং যা বিভিন্ন সাধারণ নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যের ভিত্তি গঠন করে। এর নামকরণ করা হয়েছে ডাচ গণিতবিদ লুইৎজ এরেণ্ড জান ব্রাওয়ারের নামানুসারে।

বিবৃতি

ব্রাওয়ারের নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যটি অনুসারেঃ যেকোনো n-মাত্রিক বদ্ধ একক বলকে নিজের মধ্যে চিত্রিত করে এমন निरবচ্ছিন্ন ফাংশন, যেখানে n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তার কমপক্ষে একটি নিশ্চিত বিন্দু থাকবে। অর্থাৎ, ইউক্লিডীয় n-স্থান Rⁿ এর সেই সকল বিন্দুর সেট, যেখানে সকল বিন্দু মূলবিন্দু থেকে সর্বোচ্চ ১একক দূরত্বে অবস্থিত। এই উপপাদ্যে, f: Bⁿ → Bⁿ ফাংশনের একটি নিশ্চিত বিন্দু হলো Bn এর এমন একটি বিন্দু x যাতে f(x) = x.

বিঃদ্রঃ

এই উপপাদ্যে, ফাংশনটি, যাকে আমরা f দ্বারা নির্দেশ করছি, সেটা যেকোনো বিন্দুকে অন্য কোনো বিন্দুতে বা সব সম্ভাব্য বিন্দুতে পাঠাতে বাধ্য নয়। কারণ এই উপপাদ্যটি কেবল নিরবচ্ছিন্নতা এবং নিশ্চিত বিন্দুর উপর নির্ভর করে, আর এই দুটো বৈশিষ্ট্যই 'হোমিওমর্ফিজম' এর ক্ষেত্রে অপরিবর্তিত থাকে। অর্থাৎ, যদি আমরা বদ্ধ একক বলের পরিবর্তে এর সমরূপ কোনো সেট ব্যবহার করি (যা স্বাভাবিকভাবেই বদ্ধ, সীমাবদ্ধ, সংযুক্ত এবং কোনো ছেদ ছাড়া হবে), তাহলেও এই উপপাদ্যটি ঠিক থাকবে।

যদি আমরা এই উপপাদ্যটি 'খোলা' একক বলের জন্য প্রয়োগ করার চেষ্টা করি, তাহলে সেক্ষেত্রে উপপাদ্যটি ভুল হয়ে যায়। খোলা একক বল হলো মূলবিন্দু থেকে কঠিনভাবে ১ এর কম দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির সেট। উদাহরণ হিসেবে, $f(x,y)=\textstyle ({\frac {1}{2}}(x+{\sqrt {1-y^{2}}}),y)$ ফাংশনটি বিবেচনা করুন। এই ফাংশনটি R2 এর খোলা একক বলের যেকোনো বিন্দুকে খোলা একক বলেরই আরেকটি বিন্দুতে (কিন্তু দেওয়া বিন্দুর ঠিক একটু ডান দিকে) পাঠায়।

উদাহরন

ব্রাওয়ারের নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যের বাস্তব জগতেও অনেক প্রয়োগ আছে। কয়েকটা উদাহরণ দেখা যাক: কল্পনা করুন দুটো সমান আকারের গ্রাফ পেপার আছে, উভয়ের উপরেই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আছে। এখন একটা পেপার টেবিলের উপর সমতালভাবে রাখুন এবং আরেকটাকে কোনো কিছু ছিঁড়ে ফেলবার মতো কিছু না করে গুঁজিয়ে প্রথম পেপারের উপর যেভাবেই হোক রাখুন, কিন্তু গুঁজোনো কাগজটা যেন সমতাল কাগজের বাইরে না যায়। এই অবস্থায়, গুঁজোনো কাগজের কমপক্ষে একটি বিন্দু অবশ্যই সমতল কাগজের ঠিক সেই একই বিন্দুর (অর্থাৎ একই স্থানাঙ্কের বিন্দুর) উপরে থাকবে। এটি ব্রাওয়ারের উপপাদ্যের n = ২ ক্ষেত্রের ফলাফল, যেখানে নিরবচ্ছিন্ন ফাংশনটি গুঁজোনো কাগজের প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্ককে তার ঠিক নিচের সমতাল কাগজের বিন্দুর স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত করে।

একইভাবে, ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে ব্রাওয়ারের উপপাদ্যের ফলাফল হলো: আপনি গ্লাসে থাকা ককটেলকে নাড়ুন বা ঝাঁকান, তবুও তরলের কোনো একটি বিন্দু ঠিক আগের অবস্থানেই থাকবে, যদি ধরে নিই নাড়ানোর বা ঝাঁকানোর পরে প্রতিটি বিন্দুর চূড়ান্ত অবস্থান তার আগের অবস্থানের উপর নিরবচ্ছিন্নভাবে নির্ভর করে, এবং নাড়ানোর বা ঝাঁকানোর পরে তরলটি তার আগের স্থানটির মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকে।

n = ৩ ক্ষেত্রের আরেকটি ফলাফল পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ, কোনো বিমান টার্মিনালের তথ্য ডিসপ্লে মানচিত্র। ফাংশনটি টার্মিনালের বিন্দুগুলোকে মানচিত্রে তাদের চিত্রের দিকে পাঠায়, এটি নিরবচ্ছিন্ন এবং সেইজন্য একটি নিশ্চিত বিন্দু রয়েছে, সাধারণত এটিকে "আপনি এখানে আছেন" লেখা একটি ক্রস বা তীর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। টার্মিনালের বাইরে একই রকম কোনো ডিসপ্লে থাকলে ফাংশনটি "নিজের মধ্যে" থাকার শর্তটি লঙ্ঘন করবে এবং কোনো নিশ্চিত বিন্দু থাকবে না। এই উদাহরণের জন্য, একটি নিশ্চিত বিন্দুর অস্তিত্ব হলো বানাচের নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যেরও একটি ফলাফল, কারণ স্থানের বিন্দুগুলোকে ডিসপ্লেতে মানচিত্রিত করা ফাংশনটি একটি সংকোচন মানচিত্র।

ইতিহাস

ব্রাওয়ারের নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যটি ছিল বীজগাণিতিক টপোলজির প্রাথমিক অর্জনগুলির মধ্যে একটি এবং আরো সাধারণ নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যের ভিত্তি, যেগুলো ফাংশন বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ। n = 3 ক্ষেত্রটি প্রথমে পিয়ার্স বোহল ১৯০৪ সালে প্রমাণ করেন (জার্নাল ফ্যুর ডি রাইনে উন্ড অ্যাংগেওয়ান্ডে ম্যাথেমাটিকে প্রকাশিত)। পরে ১৯০৯ সালে এল.ই.জে. ব্রাওয়ার এটি প্রমাণ করেন। জ্যাক হাডামার্ড ১৯১০ সালে সাধারণ ক্ষেত্রটি প্রমাণ করেন, এবং ব্রাওয়ার ১৯১২ সালে আরেকটি ভিন্ন পদ্ধতিতে এটি প্রমাণ করেন। এই প্রাথমিক প্রমাণগুলি সবকটিই ছিল অনির্ণায়ক ও পরোক্ষ প্রমাণ, ফলে এগুলি ব্রাওয়ারের স্বজ্ঞানবাদী আদর্শের বিপরীতে চলে। পরিশেষে, ব্রাওয়ারের উপপাদ্যের নিশ্চিত বিন্দুগুলির (অনুমানিক) নির্মাণ পদ্ধতি এখন জানা যায়; উদাহরণস্বরুপ (কারামাদিয়ান ১৯৭৭) এবং (ইস্ত্রাতেস্কু ১৯৮১) গ্রন্থায় এ বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছে।

প্রমান

ব্রাওয়ারের নিশ্চিত বিন্দু উপপাদ্যের প্রমাণটি একটু জটিল গণিতের ভাষায় লেখা। এখানে আমরা মূল ধারণাগুলোকে সাধারণ মানুষের বোঝার মতো করে তুলে ধরার চেষ্টা করব।

কল্পনা করুন, f:Bn → Bn এমন একটি ফাংশন আছে যার কোনো নিশ্চিত বিন্দু নেই। এখন, g(x) নামের আরেকটি ফাংশন ধরুন। এই ফাংশনটি f(x) বিন্দু থেকে শুরু হয়ে x এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রশ্মিকে বর্ধিত করে। এরপরে, g(x) সেই রশ্মিটির গোলকের সাথে প্রথম যেখানে মিলিত হয়, সেই বিন্দুকে নির্দেশ করে। লক্ষ্যণীয় যে, f কোনো বিন্দুকে নিজের মধ্যে না রাখলেই কেবল g(x) ফাংশনটি সু-বিন্যস্ত এবং নিরবচ্ছিন্ন হতে পারে। এছাড়াও, g(x) ফাংশনটি গোলকের সীমানায় অবশ্যই অভেদ ফাংশন হবে, এটা বুঝতে খুব কঠিন কিছু নয়।

এখন আমাদের g:Bn → Sn-1 নামের এমন একটি ফাংশন পাওয়া গেল, যেটি গোলকের সীমানা Sn-1=∂Bn এর উপরে অভেদ ফাংশন হিসেবে কাজ করে। এটাকে রিটরাকশন বলা হয়। এবার, i:Sn-1 → Bn হলো অন্তর্ভুক্তকরণ ফাংশন । g ∘ i = idSn-1 সমীকরণটি সহজেই পাওয়া যায়। এখন হমলজি নামের ধারণা প্রয়োগ করলে, আমরা g∗ ∘ i∗ = idH~n−1(Sn-1) সমীকরণটি পাই, যেখানে * চিহ্নটি homology-তে প্রতিস্থাপিত মানচিত্রকে নির্দেশ করে।

কিন্তু, Bn গোলকটি সংকুচিত হওয়ার কারণে, H~n−1(Bn) = 0 এবং H~n−1(Sn-1) = Z হওয়া একটি সুপরিচিত ফ্যাক্ট । ফলে, আমরা একটি অ-শূন্য গ্রুপের একটি অসম পেলাম, যা একটি তুচ্ছ গ্রুপের মাধ্যমে নিজের মধ্যে ম্যাপ করা হচ্ছে। স্পষ্টতই, এটি অসম্ভব। সুতরাং, আমরা একটি বৈপরীতি পেলাম, এবং এরকম কোনো ফাংশন f অস্তিত্ব নেই।