গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/মেট্রিক্স তত্ত্ব

গণিতে ম্যাট্রিক্স বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ বিভিন্ন সংখ্যার এক ধরনের আয়তাকার বিন্যাসকে বুঝায়।^[১]^[২] যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক প্রয়োজনীয় :

কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা

ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায়: আয়তাকারে সারি ও স্তম্ভ–এ বা শুধু সারিতে বা শুধু স্তম্ভ–এ সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠী একটি ম্যাট্রিক্স গঠন করে।

একটি ম্যাট্রিক্সকে তার সারি এবং স্তম্ভ সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন: $A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}$

উপরিউক্ত ম্যাট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a_1,1, a_1,2 প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n ম্যাট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে A=[a_m,n] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রকারভেদ

কলাম ম্যাট্রিক্স (Column Matrices)

যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম থাকে। একে কলাম ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : ${\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}$

সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrices)

যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে। একে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : ${\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}$

বর্গ (square) ম্যাট্রিক্স

টেমপ্লেট:মূল নিবন্ধ যে ম্যাট্রিক্সে কলাম ও সারির সংখ্যা সমান। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [a_ij]এর উপাদান এমন হয় যে i=j তবে তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&5&2\end{bmatrix}}$ ,

কর্ণ (diagonal) ম্যাট্রিক্স

যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলোর মুখ্য (a₁₁ উপাদান দিয়ে) কর্ণ ব্যতীত সকল উপাদানের মান শূন্য (০) হয় তবে তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্স [a_ij] এর উপদান এমন হয় যে a_ij=0, যখন $i\neq \ j$ তখন তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}$

অভেদক (identity) বা একক ম্যাট্রিক্স (unit)

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শূন্য (০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক (১) হয় তবে তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বা একক ম্যাট্রিক্স বলে॥ সকল অভেদক ম্যাট্রিক্সই কর্ণ ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [a_ij]-এর উপাদান এমন হয় যে a_ij=0 যখন $i\neq \ j$ এবং a_ij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বলে।

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ একক ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশ করা হয় I দিয়ে।একক ম্যাট্রিক্স (I) সাথে একক ম্যাট্রিক্স (I) কে যতবার গুন করা হোক না কেন আমারা একক ম্যাট্রিক্স পাবো, একক ম্যাট্রিক্স (I) পাবো I × I=I আবার কয়টা সারি কয়টা কলাম বুঝায় I নিচে I_n

শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrices)

যখন কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শূন্য হয় তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_ij] একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স যখন a_ij=0।

যেমন: ${\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}$ এটিকে 0_3×2 চিহ্নরূপে প্রকাশ করা হয় ৷

প্রতিসম (Symmetric) ম্যাট্রিক্স

যে অশূন্য বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_ij] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স যখন a_ij=a_ji। যেমন: ${\begin{bmatrix}1&3&2\\3&0&6\\2&6&2\end{bmatrix}}$

বিপ্রতিসম (skew symmetric) ম্যাট্রিক্স

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সংবলিত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_ij] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যখন a_ij= −a_ji।

উদাহরণ: ${\begin{bmatrix}0&-3&2\\3&0&-6\\-2&6&0\end{bmatrix}}$

হার্মেশিয়ান (Hermitian) ম্যাট্রিক্স

কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো ভুক্তি জটিল মান হলে এর জটিল মান কে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ করলে আবার সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে তাকে হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে।

${\begin{bmatrix}1&3+2i&2\\3-2i&0&-6\\2&-6&2\end{bmatrix}}$

বিপ্রতিসম হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স

কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো ভুক্তি জটিল মান হলে এর জটিল মানকে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ (সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত) করলে আবার বিপরীত মানের সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে, তাকে বিপ্রতিসম হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে।

ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত

যোগ

দুইটি m×n ম্যাট্রিক্স A এবং B, তাদের যোগ A+B একটি m×n ম্যাট্রিক্স হবে যা গণনা করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট উপাদান সমূহের যোগের মাধ্যমে (অর্থ্যাৎ, (A + B)_{i, j} = A_{i, j} + B_{i, j})। উদাহরণঃ

{\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}

গুণন

ম্যাট্রিক্স গুনন বলতে মুলত দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণনকে বুঝায়। এক্ষেত্রে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি দিয়ে এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলামকে গুণ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ বলা যায় যদি-

A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}\,,

যদি দুটি ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে এদের গুনফল ম্যাট্রিক্স AB হবে A ম্যট্রিক্সের সারি এবং B ম্যাট্রিক্সের কলামের ডট গুনফলের সমান অর্থাৎ

AB=(a,b,c)\cdot (p,q,r)=ap+bq+cr

গুণ করার নিয়ম

ধরা যাক A এবং B দুইটি ম্যাট্রিক্স। এদের মান যথাক্রমে-

$A={\begin{bmatrix}6&4\\2&5\end{bmatrix}},\;B={\begin{bmatrix}4&8\\2&7\end{bmatrix}}$

১ম ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে ২য় ম্যাট্রিক্সের ১ম কলামের অনুরুপ ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে এবং গুণফলগুলোকে সমষ্টিবদ্ধ আকারে লিখতে হবে। গুণফলগুলোর সমষ্টি হলো AB ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ১ম ভুক্তি।

(AB)_{1,1}=32

এভাবে ১ম ম্যাট্রিক্সের ২য় ৩য় সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের ১ম কলামের ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে। গুনফলগুলো হবে AB ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির যথাক্রমে ২য় ও ৩য় ভুক্তি।

গুনন যোগ্যতা

যদি A_m×n একটি m সংখ্যাক সারি এবং n সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং B_p×q একটি p সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে A এবং B ম্যাট্রিক্স দুটি গুননের যোগ্য হবে যদি এবং কেবল যদি n=p হয়। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্স গুননের যোগ্যতা তখনই অর্জন করে যখন প্রথম ম্যাট্রিক্স এর কলাম সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হয়।

গুননে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের আকার

যদি A_(m×n) একটি m সংখ্যাক সারি এবং n সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং B_(p×q) একটি p সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে A এবং B ম্যাট্রিক্সটি গুনন যোগ্য হবে যদি যদি n=p হয় এবং গুনের পর ম্যাট্রিক্স AB পাওয়া গেলে এতে m সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম থাকবে। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্সের গুনফল ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হবে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান এবং গুনফল ম্যট্রিক্সের কলাম সংখ্যা হবে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যার সমান। AB ম্যাট্রিক্সের আকার হবে (m×q) অর্থাৎ এতে m সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক কলাম থাকবে।^[৩]

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}\,,

ম্যাট্রিক্স দুটির গুনফল

AB={\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \\p\alpha +q\lambda +r\rho &p\beta +q\mu +r\sigma &p\gamma +q\nu +r\tau \\u\alpha +v\lambda +w\rho &u\beta +v\mu +w\sigma &u\gamma +v\nu +w\tau \end{bmatrix}}\,,

এবং

BA={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha a+\beta p+\gamma u&\alpha b+\beta q+\gamma v&\alpha c+\beta r+\gamma w\\\lambda a+\mu p+\nu u&\lambda b+\mu q+\nu v&\lambda c+\mu r+\nu w\\\rho a+\sigma p+\tau u&\rho b+\sigma q+\tau v&\rho c+\sigma r+\tau w\end{bmatrix}}\,.

ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুনন

দুটি ম্যাট্রিক্সের গুন করার পাশাপাশি ম্যাট্রিক্সের সাথে অন্য কোন স্কেলার রাশিকেও গুন করা যায়। কোন ম্যাট্রিক্সকে যদি একটি স্কেলার রাশি দিয়ে গুন করা হয় তবে তা ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের সাথে গুন হয়ে যাবে। অর্থাৎ একটি ৩ টি সারি এবং ৩টি কলাম বিশিষ্ট A ম্যাট্রিক্স কে যদি $x$ দ্বারা গুন করা হয় তবে তা A ম্যাট্রিক্সের ৯ টি উপাদান বা ভুক্তির(উল্লেখ্য আধুনিক গণিতে উপাদানগুলোকে ভুক্তি নামে নামকরণ করা হয়েছে) সবার সাথে আলাদা আলাদা ভাবে গুন হয়ে যাবে।^[৩]