গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/লিনিয়ার টান্সফরমেশন
আইগেনজগতের লেমা
সম্পাদনাA এর প্রত্যেক আইগেনমান λ এর জন্য প্রাপ্ত আইগেনভেক্টরগুলো L এর উপজগত L(λ) তৈরি করে।
শিলভের প্রমাণ (১৯৬৯)
সম্পাদনাবস্তুত, যদি Ax1 = λx1, এবং Ax2 = λx2, তখন
- A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 = αλx1 + βλx2 = λ (αx1 + βx2)
যা উপরের বিবৃতি প্রমাণ করে।
আইজেনভেক্টরগুলোর রৈখিক অনির্ভরশীলতার লেমা
সম্পাদনাA লিনিয়ার টান্সফরমেশনের জন্য আইগেনভেক্টর x1, x2, ... , xn এর বিপরীতে বিদ্যমান যুগল আইগেনমান λ1, λ2, ... , λn, সমূহ রৈখিকভাবে (লিনিয়ার) অনির্ভরশীল।
শিলভের প্রমাণ (১৯৬৯)
সম্পাদনাএই বিবৃতিটি n সংখ্যার গাণিতিক আরোহ দ্বারা প্রমাণিত হয়। এটা স্ষ্ট যে n = 1 এর জন্য লেমা সত্য। ধরা যাক, লেমাটি A টান্সফরমেশনের n-1 সংখ্যক আইগেনমানের জন্য সত্য; এটি দেখানোর জন্য অবশিষ্ট থাকে যে এটি A টান্সফরমেশনের সমস্ত n আইজেনভেক্টরগুলোর জন্য সত্য। ধরা যাক, A রূপান্তরের n আইজেনভেক্টরের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ (লিনিয়ার কম্বিনেশন) 0:
- α1x1 + α2x2 + ... + αnxn = 0.
অভেদকের উপর A ট্রান্সফরমেশন প্রয়োগ করে পাই,
- α1λ1x1 + α2λ2x2 + ... + αnλnxn = 0.
প্রথম সমীকরণটিকে λn গুণ করে এবং দ্বিতীয়টি থেকে বিয়োগ করে পাই,
- α1(λ1 – λn)x1 + α2(λ2 – λn)x2 + ... + αn – 1(λn – 1 – λn)xn – 1 = 0,
যেখান থেকে আরোহ বলা যায় যে সকল সহগকে শূন্য হতে হবে। স্বতন্ত্র আইগেনমানগুলির অশূন্য পার্থক্য রয়েছে, তাই প্রত্যেক i < n এর জন্য αi = 0 ; প্রথম সমীকরণটি নিচের অবস্থায় আসে
- αnxn = 0
যার অর্থ αn = 0, নিজেও শূন্য. অর্থ্যাৎ সকল সহগ αi = 0 । তাই x1, x2, ..., xn রৈখিকভাবে (লিনিয়ার) অনির্ভরশীল।