গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/e একটি অমূলদ সংখ্যা

অয়লারের সংখ্যা e এর সিরিজ উপস্থাপনা

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\!$

প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে e অযৌক্তিক। e এর অনেকগুলি উপস্থাপনার মধ্যে, এটি সূচকীয় ফাংশনের জন্য টেলর সিরিজ e^y যা y = 1 এ মূল্যায়ন করা হয়েছে।

প্রমাণের সারাংশ

এটি দ্বন্দ্ব দ্বারা একটি প্রমাণ। প্রাথমিকভাবে e কে a/b ফর্মের একটি মূলদ সংখ্যা বলে ধরে নেওয়া হয়। তারপরে আমরা e প্রতিনিধিত্বকারী সিরিজের একটি প্রস্ফুটিত পার্থক্য x বিশ্লেষণ করি এবং এর কঠোরভাবে ছোট bতম আংশিক যোগফল, যা সীমিত মান e-এর আনুমানিক। ম্যাগনিফাইং ফ্যাক্টরটিকে b হতে বেছে নেওয়ার মাধ্যমে, ভগ্নাংশ a/b এবং bম আংশিক যোগফল পূর্ণসংখ্যায় পরিণত হয়, তাই x হতে হবে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যাইহোক, সিরিজের উপস্থাপনার দ্রুত একত্রিত হওয়া বোঝায় যে বিবর্ধিত অনুমান ত্রুটি x এখনও 1 এর থেকে কঠোরভাবে ছোট। এই দ্বন্দ্ব থেকে আমরা অনুমান করি যে e অযৌক্তিক।

প্রমাণ

ধরি, e একটি মূলদ সংখ্যা। তারপর আছে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a এবং b যেমন e = a/b।

সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করুন

$\ x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}\!$

দেখতে যে x হল একটি পূর্ণসংখ্যা, এই সংজ্ঞায় e = a/b প্রতিস্থাপন করুন

$x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$

প্রথম পদটি একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং প্রতিটি পদের জন্য n≤b থেকে যোগফলের প্রতিটি ভগ্নাংশ একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই x একটি পূর্ণসংখ্যা।

আমরা এখন প্রমাণ করি যে 0 <x < 1। প্রথমে, x-এর সংজ্ঞায় e-এর উপরোক্ত সিরিজ উপস্থাপনা সন্নিবেশ করান।

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,.\!$

n ≥ b + 1 সহ সমস্ত পদের জন্য আমাদের উপরের অনুমান আছে

${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,\!$

যা এমনকি প্রতিটি n ≥ b + 2 এর জন্য কঠোর। যোগফলের সূচককে k = n – b-এ পরিবর্তন করা এবং অসীমের জন্য সূত্র ব্যবহার করা জ্যামিতিক সিরিজ, আমরা প্রাপ্ত

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}\leq 1.$

যেহেতু 0 এবং 1 এর মধ্যে কঠোরভাবে কোন পূর্ণসংখ্যা নেই, আমরা একটি দ্বিধায় পৌঁছেছি তাই e-কে অবশ্যই অমূলদ হতে হবে।