ডিজিটাল সার্কিট/লজিক অপারেশন

আগের অধ্যায়ে ডিজিটাল তথ্য কি তা আমরা শিখেছি। ডিজিটাল তথ্যকে বিট হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যা ১ (1) বা ০ (0) অর্থাৎ যথাক্রমে হাই এবং লো মান নিতে পারে। এই অধ্যায়ে আমরা কীভাবে গণনা সম্পাদন করতে হয় এবং ডিজিটাল তথ্য ব্যবহার করে অন্যান্য কাজ করতে হয় তা অন্বেষণ করতে শুরু করি।

আমরা যে বিষয়ে আলোচনা করব তার বেশিরভাগই জর্জ বুল (১৮১৫ - ১৮৬৪) ১৮৫৪ সালে প্রকাশিত তাঁর অ্যান ইনভেস্টিগেশন অফ দ্য লজ অফ থট অন হুইচ আর ফাউণ্ডেড দ্য ম্যাথামেটিক্যাল থিয়োরিজ অফ লজিক অ্যাণ্ড প্রোবাবিলিটিজ গবেষণাপত্রে আনুষ্ঠানিকভাবে তুলে ধরেছিলেন। সেই সময়ে এটির খুব কমই প্রয়োগ ছিল, কিন্তু অবশেষে বিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীরা বুঝতে পেরেছিলেন যে তাঁর প্রণালীটি কার্যকর কম্পিউটার লজিক তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডিজিটাল লজিক জড়িত গণিতের শাখাটির নাম যথাযোগ্যভাবেই দেওয়া হয়েছে বুলিয়ান বীজগণিত।

প্রাথমিক অপারেটর

ডিজিটাল লজিকের তিনটি প্রাথমিক অপারেটর রয়েছে, অ্যান্ড, অর এবং নট। ডিজিটাল লজিকের সবকিছুর ভিত্তি তৈরি করে এই তিনটি অপারেটর। প্রকৃতপক্ষে, তোমার কম্পিউটারের প্রায় সবকিছুই এই তিনটির ক্রিয়াকলাপের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা যেতে পারে। সৌভাগ্যবশত, এদের ক্রিয়াকলাপগুলি বোঝা কঠিন নয়, কারণ তাদের অর্থগুলি প্রতিদিনের ভাষায় ব্যবহৃত শব্দগুলির অর্থের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

অ্যান্ড

একটি অ্যান্ড অপারেটরের প্রতীক হল একটি একক বিন্দু (ডট)। অ্যান্ড ব্যবহারের গাণিতিক অভিব্যক্তিটি এইরকম :

$A\cdot B$

অ্যান্ড অপারেটরের বিকল্প কিছু প্রকাশ হল $AB,A*B,A$ && $B$ এবং $A\land B$। একটি অ্যান্ড অপারেটরের আউটপুটের মান হাই বা ১ হবে শুধুমাত্র যদি উভয় ইনপুটের মান ১ (1) হয়। অন্য যে কোন ইনপুটের জন্য আউটপুটের মান হবে মান লো বা ০ (0)। অর্থাৎ, উপরের অভিব্যক্তিটির মান 1 এর সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি A এবং B উভয়ের মান 1 হয়। অ্যান্ড অপারেটরকে নিম্নলিখিত ট্রুথ টেবিল দিয়ে বর্ণনা করা যেতে পারে।

$A$	$B$		$A\cdot B$
0	0		0
0	1		0
1	0		0
1	1		1

অর

অর অপারেটরের চিহ্নটি হল একটি যোগ চিহ্ন। অর ব্যবহারের গাণিতিক অভিব্যক্তিটি এইরকম :

$A+B$

অর অপারেটরের বিকল্প কিছু প্রকাশ হল A$\vee$B, A OR B and A || B। একটি অর অপারেটরের মান লো বা 0 হবে শুধুমাত্র যদি উভয় ইনপুট মান 0 হয়। অন্যথায় মান হবে 1, অর্থাৎ উপরের অভিব্যক্তিটির মান 0 হবে শুধুমাত্র A এবং B উভয়ের মান 0 হলেই। অর অপারেটরের জন্য ট্রুথ টেবিল হল :

$A$	$B$		$A+B$
0	0		0
0	1		1
1	0		1
1	1		1

নট

নট হল একটি ইউনারী অপারেটর, অর্থাৎ এর জন্য শুধুমাত্র একটি ইনপুট প্রয়োজন, অন্যদিকে অ্যান্ড এবং অর বাইনারি অপারেটর কারণ তাদের ইনপুট হিসাবে দুটি মান প্রয়োজন। নট অপারেটরের সংকেত হল ${\overline {A}}$ বা A'

নট অপারেটরের আউটপুটের মান হবে ইনপুট মানের বিপরীত (অর্থাৎ ইনপুট লো হলে আউটপুট হাই ইত্যাদি)। এর ট্রুথ টেবিল নিচে প্রদর্শিত :

$A$		${\overline {A}}$
0		1
1		0

ন্যান্ড এবং নর

অ্যান্ড, অর এবং নট অপারেটরদের একত্রিত করলে নর এবং ন্যান্ড তৈরি করা যেতে পারে:

• A NAND B হল ${\overline {A\cdot B}}$. এটি অ্যান্ড গেটের বিপরীত আউটপুট।
• A NOR B হল ${\overline {A+B}}$. এটি অর গেটের বিপরীত আউটপুট।

NAND	NOR
$Q={\overline {X\cdot Y}}$	$Q={\overline {X+Y}}$
X Y Q 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0	X Y Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

এক্সঅর এবং এক্সনর

অন্য দুটি গুরুত্বপূর্ণ গেট হল এক্সক্লুসিভ-অর অপারেটর বা এক্সঅর এবং এক্সক্লুসিভ-নর অপারেটর বা এক্সনর। এদের কখনও কখনও একটি বৃত্তের মধ্যে একটি যোগ চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

• A এক্সঅর B হল ${\overline {A}}\cdot B+A\cdot {\overline {B}}=A\oplus B$। ঠিক একটিমাত্র ইনপুট 1 হলে তবেই এটির মান 1 হবে।
• A এক্সনর B হল ${\overline {{\overline {A}}\cdot B+A\cdot {\overline {B}}}}={\overline {A\oplus B}}$। এটি একটি এক্সঅর গেটের বিপরীত আউটপুট: একমাত্র তখনই আউটপুট হাই বা 1 হবে যদি উভয় ইনপুট সমান হয়।

XOR	XNOR
$Q={X\oplus Y}$	$Q={\overline {X\oplus Y}}$
X Y Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0	X Y Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

এক্সঅর একটি মডুলো-২ (বাইনারি সংখ্যা দিয়ে অঙ্ক করা) সংযোজন প্রকাশ করে, যার মানে হল তুমি যদি 1-এর সঙ্গে 1 যোগ কর, তাহলে 0 উত্তর পাবে। এটি ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে খুব দরকারী অপেক্ষক (ফাংশন), কিন্তু এটি বুলিয়ান বীজগণিতের অত্যন্ত প্রয়োজনীয় ধারণা নয়।

বিধিবৎ গাণিতিক অপারেটর

লজিক সার্কিটের অঙ্ক আসলে একটি বিচ্ছিন্ন গণিতের অংশ, সেখানে আমরা যে যোগ / গুণের ধরন দেখেছি তার কিছু বিকল্প প্রকাশ সংকেতও রয়েছে:

• লজিক অ্যান্ড অপারেশন প্রকাশ করা হয় $\wedge$ চিহ্ন দ্বারা, অতএব A AND B হবে $A\wedge B$।
• লজিক অর অপারেশন প্রকাশ করা হয় $\vee$ চিহ্ন দ্বারা, অতএব A OR B হবে $A\vee B$.
• লজিক নট অপারেশন প্রকাশ করা হয় $\lnot$ চিহ্ন দ্বারা, অতএব NOT A হবে $\neg A$.

দুর্ভাগ্যবশত, কম্পিউটার বিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং গণিত একটি ঐক্যমত্য প্রতিষ্ঠা করতে অক্ষম বলে মনে হয়, তাই আমরা সংকেত চিহ্নের উভয় প্রকারের সাথে আটকে আছি। অন্যান্য বই, এবং বিশেষ করে যেগুলি বিশুদ্ধ লজিক বা বিচ্ছিন্ন গণিতের নিয়ে বেশি কাজ করে সেগুলিতে বিভিন্ন প্রকাশ চিহ্ন থাকতে পারে, তাই যদি অন্য বইগুলি পড়তে হয়, তাহলে অন্যান্য সমস্ত প্রকাশ চিহ্নগুলি জানা দরকার। যেহেতু এটি একটি প্রকৌশল বই, আমরা এই প্রকাশ চিহ্নগুলি ব্যবহার করব না।

বুলিয়ান বীজগণিত নিয়ম

নিয়মিত বীজগণিতের মতো বুলিয়ান বীজগণিতেরও কিছু নিয়ম রয়েছে। এই নিয়মগুলি হল সহযোগী বৈশিষ্ট্য (অ্যাসোসিয়েটিভিটি), বিতরণ বৈশিষ্ট্য (ডিস্ট্রিবিউটিভিটি), বিনিময় বৈশিষ্ট্য (কম্যুটেটিভিটি) এবং ডি মরগানের সূত্র। সহযোগী বৈশিষ্ট্য, বিতরণ বৈশিষ্ট্য এবং বিনিময় বৈশিষ্ট্য শুধুমাত্র অ্যান্ড এবং অর অপারেটর দুটির জন্য প্রযোজ্য। এই নিয়মগুলির মধ্যে কিছু খুব সাধারণ মনে হতে পারে কারণ তুমি সেগুলিতে অভ্যস্ত৷ কিন্তু যখন বিভিন্ন নিয়ম নিয়ে বুলিয়ান বীজগণিত তৈরি করা হয়েছিল, তখন বীজগণিতের জন্য আমরা যে স্বতঃসিদ্ধ "স্বাভাবিক" বলে গ্রহণ করি এখানে তার প্রয়োগের নিশ্চয়তা ছিল না। এই নিয়মগুলি বুলিয়ান বীজগণিত দিয়ে প্রমাণিত হয়েছে।

সহযোগী বৈশিষ্ট্য

সহযোগী বৈশিষ্ট্য (অ্যাসোসিয়েটিভিটি) হল এই বীজগণিতের একটি ধর্ম যেখানে কোন পদটির কাজ আগে করা হবে তার কোন ক্রম নেই।

$A+(B+C)\iff (A+B)+C\,$

$A\cdot (B\cdot C)\iff (A\cdot B)\cdot C\,$

বিতরণ বৈশিষ্ট্য

বিতরণ বৈশিষ্ট্য (ডিস্ট্রিবিউটিভিটি) হল এমন একটি ধর্ম যেখনে একটি অপারেটর বন্ধনীর প্রতিটি পদের সঙ্গে প্রযুক্ত হয়।

$A\cdot (B+C)\iff (A\cdot B)+(A\cdot C)\,$

$A+(B\cdot C)\iff (A+B)\cdot (A+C)\,$

বিনিময় বৈশিষ্ট্য

বিনিময় বৈশিষ্ট্য (কম্যুটেটিভিটি) হল এমন একটি ধর্ম যেখানে একটি অপারেটরের প্রয়োগের ক্রম অপ্রয়োজনীয়।

$A\cdot B\iff B\cdot A\,$

$A+B\iff B+A\,$

ডি মরগানের নিয়ম

ডি মরগানের নিয়মটি তৈরি হয়েছে এই তথ্য থেকে যে, নট বা বিপরীত অপারেটরের বিতরণ বৈশিষ্ট্য নেই।

${\overline {P\cdot Q}}\iff {\overline {P}}+{\overline {Q}}$

${\overline {P+Q}}\iff {\overline {P}}\cdot {\overline {Q}}$

ডি মরগানের নিয়ম (অগাস্টাস ডি মরগানের নামানুসারে, ১৮০৬ - ১৮৭১) থেকে আমরা জানতে পারি: একটি ন্যান্ড গেট এবং বিপরীত ইনপুট সহ একটি অর গেট একই আউটপুট দেয়; একটি নর গেট এবং বিপরীত ইনপুট সহ একটি অ্যান্ড গেট একই আউটপুট দেয়। সংকেতে প্রকাশ অনুযায়ী এই বিপরীত-ইনপুটযুক্ত গেটগুলিকে বুদ্বুদযুক্ত (বাবলড) গেটও বলা হয়, অর্থাৎ, প্রতিটি ইনপুটে একটি ছোট 'বুদবুদ' যোগ করা হয়, যে পদ্ধতিতে নট, ন্যান্ড এবং নর গেটের আউটপুটগুলিতে ছোট বৃত্ত আঁকা হয়।

একটি বুলিয়ান অভিব্যক্তি সরল করার সময় ডি মরগানের নিয়মগুলি সবচেয়ে কার্যকর। এই নিয়মগুলি মনে রাখার একটি সহজ উপায় হল "চিহ্ন পরিবর্তন কর, গোটা লাইনটি ভেঙে দাও"।

অপারেটারের প্রাধান্য

এটা লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ যে,

$A\cdot B+C\neq A\cdot (B+C)$

এটিকে হয় অ্যান্ড এর প্রাধান্য উচ্চতর হিসেবে ভাবা যেতে পারে অথবা এটি ঘটনা যে অ্যান্ড এবং অর এর মধ্যে সহযোগী বৈশিষ্ট্য কাজ করে না অথবা এটিকে বিতরণের একটি অবৈধ প্রয়োগ হিসাবে দেখা যেতে পারে।

এটি দেখার আরেকটি উপায় হল সাধারণ বীজগণিত সম্পর্কে আমাদের বোঝার প্রয়োগের সাদৃশ্য, যেখানে অর হচ্ছে যোগ এবং অ্যান্ড এর কাজ হল গুণ। বুলিয়ান পরিচিতির পরিবর্তে সংখ্যা সহ সাধারণ বীজগণিত নিয়ে কাজ করলে আমরা এই ত্রুটিটি কখনই করব না।

অন্যান্য ধারাগুলি

এই সমস্ত নিয়মের ফলে অনেকগুলি ধারা তৈরি হয়েছে যেগুলি সমস্ত বুলিয়ান অভিব্যক্তিতে প্রযোজ্য। এই নিয়মগুলির নাম আছে, কিন্তু তার থেকেও গুরুত্বপূর্ণ ব্যাপার হল যে যেখানে প্রয়োজন তুমি সেগুলিকে সেখানে প্রয়োগ করতে সক্ষম হবে! উল্লেখ্য যে অনেক নিয়মের দুটি রূপ আছে - একে বলা হয় দ্বৈততা, এবং এটি নিয়ে আমরা পরে আলোচনা করব।

	নাম	ধারা
১ক	আইডেমপোটেন্সি	$A\cdot A=A\,$
১খ		$A+A=A\,$
২ক	আইডেন্টিটি	$A+0=A\,$
২খ		$A\cdot 1=A\,$
৩ক	বাউণ্ডনেস	$A+1=1\,$
৩খ		$A\cdot 0=0\,$
৪ক	কমপ্লিমেন্ট নিয়ম	$A+{\overline {A}}=1\,$
৪খ		$A\cdot {\overline {A}}=0\,$
৫ক	অ্যাবসর্পশন	$A+(A\cdot B)=A\,$
৫খ		$A\cdot (A+B)=A\,$
৬	ইনভল্যুশন বা ডাবল নেগেশান	${\overline {\overline {\,A}}}=A$
৭ক	কনসেনশাস উপপাদ্য	$A\cdot B+{\overline {A}}\cdot C+B\cdot C=A\cdot B+{\overline {A}}\cdot C$
৭খ		$(A+B)\cdot ({\overline {A}}+C)\cdot (B+C)=(A+B)\cdot ({\overline {A}}+C)$

দ্বৈততার নীতি

দ্বৈততার নীতি থেকে আমরা জানতে পারি: যদি, একটি বুলিয়ান সমীকরণে, আমরা অ্যান্ড এবং অর অপারেটরগুলিকে বিনিময় করি এবং '0' কে '1' এর সাথে বিনিময় করি তাহলে বুলিয়ান সমীকরণটিও সত্য।

উদাহরণ ১

আমরা যদি জানি যে, A·(B+C)=(A·B)+(A·C) (অ্যান্ড অপারেটরের বিতরণ নিয়ম) তাহলে দ্বৈততার নীতি দ্বারা, আমরা বলতে পারি যে, A+(B·C)=(A+B)·(A+C) (অর অপারেটরের বিতরণ নিয়ম)।

উদাহরণ ২

অর অপারেটরের জন্য আইডেন্টিটি নিয়ম বিবেচনা করলে: A+0=A। দ্বৈততা প্রয়োগ করে, আমরা অ্যান্ড অপারেটরের জন্য আইডেন্টিটি নিয়ম পাই: A·1=A।

বুলিয়ান সরলীকরণ

অনেক সময়েই এটি হয় যে তুমি একটি প্রদত্ত বুলিয়ান অভিব্যক্তির সরলীকরণ করতে চাও। উদাহরণস্বরূপ, তুমি সেই নির্দিষ্ট অভিব্যক্তিটি বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজনীয় লজিক গেটের সংখ্যা কমাতে চাইতে পার। বুলিয়ান বীজগণিতের নিয়ম ও ধারার বারবার প্রয়োগের মাধ্যমে কোন অভিব্যক্তির সরলীকরণ করা হয়। মনে রাখবে যে ন্যূনতম অবস্থায় আনতে তোমাকে কখনও কখনও নিয়মগুলি পেছনের দিক থেকে প্রয়োগ করতে হতে পারে। ন্যান্ড, নর, এক্সঅর এবং এক্সনর এই সবগুলিকে শুধু অ্যান্ড, অর এবং নট-এ বিশদ করতে হবে যাতে কাজটির সরলীকরণ করা যায়।

কোন অভিব্যক্তিকে নিশ্চিত ক্ষুদ্রতম রূপে আনার জন্য কার্নো ম্যাপ একটি আরও নিয়মমাফিক উপায়, কিন্তু আমরা আপাতত কাজটি হাতেই করব।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিকে সরল করুন

1. $B\cdot A\cdot {\overline {A}}$
2. $A\cdot {\overline {B}}+A\cdot B$

উদাহরণ ১

$B\cdot A\cdot {\bar {A}}=B\cdot 0$ নিয়ম ৪খ দ্বারা

$B\cdot A\cdot {\bar {A}}=0$ ৫ নং নিয়ম ব্যবহার করে পূর্ববর্তী লাইন থেকে ফলাফল প্রয়োগ করা হয়েছে।

অতএব $B\cdot A\cdot {\bar {A}}=0$

উদাহরণ ২

বিতরণ নিয়ম ব্যবহার করে, আমরা বন্ধনী থেকে A কে বের করতে পারি, তাতে পাওয়া যায়

$A\cdot ({\overline {B}}+B)$

নিয়ম ৪ক ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে:

$A\cdot 1=A$

অতএব আমরা দেখতে পাই যে, $A\cdot {\overline {B}}+A\cdot B=A$

আরও দেখুন

• Wikipedia: Boolean logic